巷ではあぽふぃすという衛星が地球に落っこちてくる可能性の話で少々話題になっている。
ＮＡＳＡの発表ではこいつが地球に落ちてくる確率は 45万分の一と言っていたが、これにドイツの小学生が反論し、欧州のＮＡＳＡみたいな機関がその計算結果は正しいといったとのことです。ＮＡＳＡは人工衛星にこいつが衝突して軌道が変わる効果を考慮していなかったことを認めたものの、小学生が導き出した 450分の一という衝突確立には反論しているという。

ここでどんぶり勘定で衛星にこいつがぶつかった場合の変化を考えてみる。

あぽふぃすの地球に接近する際の速度を秒速３０キロとし、
あぽふぃすにぶつかる予定の人工衛星の速度を秒速3キロとし、
それぞれの重さを 2*10^10キロ、1.0*10^5キロ（※）とする。
※　宇宙ステーションレベル

衛星の軌道を変えるためにもっとも効果的なぶつかり方は多分二体間で垂直にぶつかったときであり、その場合、あぽふぃすの運動量成分は進行方向と直角方向に 3*1*10^5/(30*2*10^10) だけ変化する。具体的には 4.9*10^-7 くらい。あぽふぃすの楕円軌道の長半径は 1AU くらいらしく、短半径はしらんけど、できる限りサービスすれば楕円の円周は最大で 6AU くらいになるだろう。現実的には 5くらいだと思うので 5ＡＵ としようか。

あぽふぃすの公転周期は 0.9 年らしく、今問題となっているのは 2029 年に人工衛星にぶつかった場合の 2036年の衝突確立らしいので、あぽふぃすは人工衛星衝突から、地球再接近までの間で 40AU ほど動くことになる。

さて、40AU も動くとなると、たったの　1.4*10^-7 ごときの変化でもかなり積み重なっていると予想される。何キロだろうか、多少の誤差は目をつぶるとして、40*1.5*10^8*4.9*10^-7 で計算すると、2940キロとなった。

は？なんか意外とたいしたこと無いですけど。45万分の一を計算したNASA の誤差の範囲以内に余裕で収まりそうなんですけどどうなんでしょうか。ＮＡＳＡはおそらく計算機を用いた正確な軌道計算から、正規分布で近似できるσと u を導き出し、そこから確立 f を導出。みたいなことをしていると予想。人工衛星の衝突が確定したことによって変化するのは u だけだと思うので、u がより地球に 3000キロくらい近づいたところで大して衝突確立が変わらない気がします。もちろん、σがめちゃめちゃ小さくて、もともとの u （地球にもっとも近づくときのあぽふぃすの座標）が私が思っているよりずっと地球に近かった場合は衝突確立はドラスティックに変化する可能性もありますが。例えばもともとの u が 地球中心から 10000キロ程度の計算をしていた場合とか。その計算ではよほどの精度で軌道が確定できていないと 45万分の一にはならない気もしますけど。

小学生がどういう計算をしたか過程を見てみたいところ。


＃＃ 追記 ＃＃

どうやら 2036年の接近では地表から3000キロくらいのところを通過する予定だったようで、それならば人工衛星の種類とあたりかたによっては、最悪の場合、地表すれすれにジャストフィットしてしまうことになる。ほんとに俺の計算が正しいかしらんけど。